Nuestro plano está constituido por el conjunto de puntos interiores a un círculo de radio fijo que podemos suponer que es 1 aunque no es necesaria esa restricción. Los puntos de la circunferencia exterior no pertenecen al plano hiperbólico, son puntos límite llamados puntos del infinito del plano hiperbólico.

Para continuar es necesario saber que dos circunferencias que se cortan se llaman ortogonales cuando las respectivas tangentes en el punto de intersección son perpendiculares.

Nuestras rectas son las intersecciones con el interior del círculo de circunferencias ortogonales a la circunferencia exterior (circunferencia de los puntos del infinito) y también son rectas los diámetros del círculo . De esta forma, cada recta tiene dos puntos límite en el infinito. Existe una forma de medir en el círculo respecto a la cual las líneas que dan los caminos más cortos entre los puntos son las descritas.

Con conocimientos de bachillerato podemos comprobar en la figura 3 que dada una recta r con puntos límites R y R’ y un punto P exterior a ella, existe una circunferencia ortogonal a la circunferencia exterior, pasando por P y R: la circunferencia que tiene su centro en la intersección de la tangente en R a la circunferencia del infinito y la mediatriz del segmento PR y otra circunferencia ortogonal a la circunferencia exterior pasando por P y R’, análoga a la obtenida para el punto R’. Estas dos circunferencias determinan rectas de nuestro plano, que son también rectas límites de las secantes a r, según que el punto de intersección de dichas secantes con r se desplace hacia un lado o hacia otro. Son, por tanto, dos paralelas a la recta dada.

Así vemos que en este modelo de plano no se cumple el axioma V de Euclides. Si damos una definición de movimientos o equivalentemente, de igualdad entre las figuras que permita comprobar los cuatro primeros axiomas, tendremos demostrado que el axioma V no es una consecuencia lógica de los anteriores y por tanto, no es un teorema.

La comprobación de los cuatro primeros axiomas con la definición adecuada de movimiento puede hacerse con conocimientos del primer ciclo de la licenciatura de CC. Matemáticas, pero en este artículo solamente voy a describir ciertas anomalías que desde nuestra intuición euclídea verifica el modelo de Poincaré de plano no euclídeo.

De todas formas, es conveniente añadir que los movimientos del plano de Poincaré son las inversiones respecto a las circunferencias ortogonales a la circunferencia de los puntos del infinito y las simetrías respecto a los diámetros y que la ortogonalidad de las rectas no euclídeas se da cuando sus tangentes son ortogonales en sentido euclídeo.

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