GEOMETRÍAS NO EUCLÍDEAS.
4. Algunas peculiaridades del plano no euclídeo de Poincaré.

A) Estamos acostumbrados a considerar paralelas entre sí las distintas rectas perpendiculares a una recta dada.


En esta figura 6 están dibujadas una recta r con puntos límite (puntos del infinito) R y R’ y tres perpendiculares a ella, ya que puede comprobarse que con la definición de movimiento del plano de Poincare, las perpendiculares a una recta fija r vienen trazadas por circunferencias con centro en la recta que pasa por sus dos puntos límites R y R’.

Estas tres perpendiculares no son paralelas entre sí porque no van hacia el mismo punto límite del infinito.


Lo mismo ocurre en la figura 7 donde se ha dibujado una recta diametral horizontal y cuatro perpendiculares a esta recta.

B) Dos rectas paralelas no tienen perpendicular común. Según está ilustrado en la fig. 6, las perpendiculares a una recta fija r son circunferencias con centro en la recta secante que pasa por sus dos puntos límites R y R’.



En esta figura se ve que la intersección de las dos secantes correspondientes a las dos parejas de puntos límites de dos rectas paralelas de nuestro plano, (que son dos circunferencias ortogonales a la exterior con un punto límite común) es el punto límite común, desde el que no es posible trazar tangente a las circunferencias consideradas ni por lo tanto, perpendicular común.

C) Hay rectas no paralelas que tienen perpendicular común.


Las circunferencias ortogonales a la exterior cuyas secantes por sus puntos límite están dibujadas en esta figura son rectas no euclídeas no paralelas porque no tienen ningún punto límite coincidente, pero las secantes correspondientes a sus puntos límite se cortan; este punto de intersección es el centro de una circunferencia ortogonal a ambas, que es una recta no euclídea perpendicular a las dos.


Las circunferencias ortogonales a la exterior cuyas secantes por los puntos límite son paralelas en el sentido euclídeo admiten como perpendicular común el diámetro perpendicular a estas paralelas.

D) Dos semirrectas tienen siempre una paralela común.


Los dos puntos límite de las dos semirrectas determinan tangentes a la circunferencia exterior cuya intersección es el centro de la recta no euclídea paralela común.

Dos rectas no paralelas que no se cortan tienen cuatro paralelas comunes.


Ya que podemos hacer cuatro parejas de sus puntos límite, siendo cada punto límite en una pareja, correspondiente a distinta recta.

E) Paralelas a una tercera no tienen por qué ser paralelas entre sí.


Las dos rectas diametrales que pasan por los puntos límite de una recta fijada son paralelas a la recta dada pero se cortan en el centro de la circunferencia no siendo por tanto paralelas entre sí.


Lucía Contreras Caballero
Depto. Matemáticas. Fac. Ciencias. U. A. M.