LA COSMOLOGÍA Y TEORÍA DE LOS POLIEDROS EN PLATÓN
Por Pablo Melogno, prof. de filosofía
Uruguay - Sudamérica
pmelogno@hotmail.com

ORDENAMIENTO PLANETARIO

a palabra cosmología proviene de la conjunción de los vocablos griegos cosmos -mundo, universo- y logos –discurso, estudio-; en términos generales se trataría del estudio del universo, por lo que uno de sus problemas más relevantes consiste en establecer el orden de los cuerpos celestes.

Para Platón, el origen del cosmos tal cual lo conocemos es obra de un artesano divino, o demiurgo, que tomando como modelo las Ideas dio forma al orden que percibimos a través de los sentidos. Desde el momento en que el cosmos fue creado siguiendo el modelo del mundo inteligible, se presenta como una realidad dotada de racionalidad, en el sentido de que su forma y su funcionamiento no son desordenados y arbitrarios, sino que pueden ser conocidos intelectualmente por el hombre.

Ahora bien, el conocimiento del orden cósmico es superior al conocimiento inmediato de lo sensible, y a su vez es inferior al conocimiento de las ideas en sí mismas, por lo que la herramienta que permite al entendimiento humano discernir este orden cósmico debe ser justamente aquella que intermedia entre la percepción sensible y la intelección pura de la idea: el conocimiento matemático. De este modo fundamenta Platón algo que será una de las más importantes bases conceptuales de la revolución de la ciencia en los siglos XVII y XVIII: la necesidad de explicar matemáticamente los fenómenos físicos y astronómicos.

Para explicar la composición material del universo, parte Platón de que en el principio de los tiempos existían lo uno y lo otro, dos sustancias diferentes que sirvieron como base para desprender de ellas la diversidad de elementos que conocemos, ya que si hubiera sido una sola, el pasaje de la unidad a la diversidad habría resultado imposible. La mezcla de lo Uno (1), con lo otro (2) forma una tercera sustancia (3), que mezclada a su vez con las dos anteriores produce una cuarta sustancia (4). La suma de las sustancias 1+2+3+4 = 10 da como resultado la decena, que para Platón -debido a la influencia pitagórica- era expresión de la perfección y la completud de la totalidad del cosmos; por tanto no es de extrañar que para el filósofo griego la decena fuera la síntesis de la unión de las sustancias originarias.

La mezcla resultante es dividida en dos partes por el demiurgo; con la primera crea la esfera de las estrellas fijas, que rodea y limita el universo. El universo es finito y limitado no sólo para Platón sino para los griegos en general, dado que la idea de infinito era estrechamente asociada a lo irracional, absurdo e incognoscible. Todas las estrellas fijas permanecen siempre en el mismo lugar de la esfera, pero no son totalmente inmóviles, sino que poseen el movimiento de rotación -giran sobre sí mismas- y el de traslación, ya que la esfera misma gira alrededor de la tierra.

En esta esfera tienen su morada las almas que han llegado al máximo grado de perfección moral y conocimiento de las Ideas durante las sucesivas reencarnaciones en el mundo sensible, viéndose como consecuencia recompensadas con la eterna contemplación del orden cósmico.

La otra mitad es dividida en siete esferas interiores a la primera y exteriores a la Tierra; dichas esferas se ordenan sobre la mezcla de dos progresiones; la primera de razón = 2: 1, 2, 4, 8; y la segunda de razón = 3: 3, 9, 27. Corresponden a los siete cuerpos celestes que por aquél entonces los griegos denominaban planetas: la Luna, el Sol, Venus, Mercurio, Marte, Júpiter y Saturno.

Tanto la esfera exterior al cielo como las siete esferas planetarias orbitan en torno a la tierra con movimiento circular y uniforme. La Tierra -esférica al igual que los otros cuerpos celestes- permanece inmóvil en el centro, y no cae debido al equilibrio que todas las partes del cosmos mantienen entre sí; el cosmos es esférico, y la tierra está situada en el centro, por lo que la tierra equidista de todos los puntos que dan límite al cosmos; de ahí su carácter inamovible.

En cuanto a las órbitas y velocidades de los sietes astros, se podría establecer que Mercurio y Venus orbitan a la misma velocidad que el Sol, pero en sentido contrario a él, mientras que los cuatro astros restantes -la Luna, Marte, Júpiter y Saturno- mantienen velocidades distintas a la de los primeros tres y distintas entre sí. En suma, podríamos decir que existen en el cosmos platónico 5 velocidades orbitales: la que es común al Sol, Mercurio y Venus y las cuatro específicas de los cuatro astros restantes.

En complemento con esto, aparece un segundo principio según el cual la velocidad es inversamente proporcional a la circunferencia de la órbita, es decir que los planetas más cercanos a la tierra giran a mayor velocidad que los más lejanos. Recapitulando: la Luna orbita a una velocidad mayor que el Sol, Mercurio y Venus; estos tres orbitan a la misma velocidad, que a su vez es mayor que la de Marte, siendo la de Marte mayor a la de Júpiter y ésta mayor a la de Saturno.

En cuanto a los sentidos de la órbita, hay dos posibilidades; igual y opuesto al del Sol. Para Platón Mercurio y Venus orbitan en dirección opuesta, pero no incluye ninguna especificación acerca del sentido del movimiento de los restantes astros. Sin embargo, asumiendo que para los antiguos griegos el hecho de que la Luna orbitaba en el mismo sentido que el Sol era tomado como un dato evidente, y que la retrogradación (movimiento de los planetas en sentido opuesto al del Sol y la Luna, siempre tomando a la tierra como centro de referencia) de Venus, Mercurio, Marte, Júpiter y Saturno también era conocida, no sería absurdo pensar que Platón atribuyera también a los últimos tres astros una órbita en sentido opuesto a la del Sol.

Platón afirma que esta disposición de los planetas -ubicación, velocidad, sentido de la órbita- fue establecida por el demiurgo en la debida proporción, asegurando la distribución armónica y mesurada de los cuerpos celestes. Sin embargo, no incluye un concepto de armonía cósmica que sustente directamente las proporciones matemáticas postuladas para localizar a los cuerpos celestes, como tampoco las variantes introducidas en cuando al sentido y velocidad de sus órbitas.

 


LA CONCEPCIÓN PLATÓNICA DE LOS PLANETAS

Teoría de los poliedros

La sustancia utilizada por el demiurgo para crear el mundo sensible -recordemos que es la mitad de la mezcla de las cuatros sustancias originarias- se divide, como lo muestra la observación más elemental en cuatro elementos: tierra, agua, aire y fuego. Sin embargo, Platón no los considera como elementos irreductibles, ni afirma como los presocráticos que uno de ellos sea el origen de los otros tres, sino que introduce la noción de un principio contenido en todos los cuerpos, que sostiene los distintos cambios que constatamos en los cuatro “elementos”.

Este principio tampoco es material como en los presocráticos, sino más bien de orden geométrico, ya que aire, fuego mar y tierra están compuestos de partículas indivisibles, a las que llega Platón razonando de la siguiente forma:

todos los cuerpos poseen profundidad -tienen volumen, son tridimensionales-, y todo lo que tiene volumen tiene también superficie, por lo que todos los cuerpos constan de superficies que conforman volúmenes. A su vez, toda superficie situada sobre un plano puede ser dividida en triángulos, y por último, todos los triángulos posibles pueden ser seccionados hasta reducirlos a dos tipos: el rectángulo isósceles y el rectángulo escaleno; por lo que éstos dos triángulos conformarían la estructura última de la realidad.

En este punto, el objetivo de la investigación platónica consiste en descomponer las estructuras más generales -compartidas por todos los cuerpos- e inmediatas -ya que son las primeras que conocemos- de la materia, empezando por el volumen y pasando luego a la superficie, hasta llegar a un estructura que ya no pueda ser reducida a otra. Podemos establecer que la estructura última está compuesta por estos dos triángulos -rectángulo escaleno e isósceles- desde el momento en que una vez que dividiendo cualquier superficie obtenemos alguno de estos dos triángulos, podemos seguir efectuando divisiones que reproduzcan de modo invariante el triángulo obtenido, por lo que éste sería tendría el carácter irreductible que le fue negado respectivamente a los elementos, al volumen y a la superficie.

Si los cuerpos -que son tridimensionales- están formados de triángulos -que son bidimensionales- debe haber un tipo de entidades que permitan explicar con precisión el pasaje de los triángulos a los cuerpos, más claramente el pasaje de la superficie a la profundidad. Estas entidades deben al mismo tiempo ser tridimensionales y estar conformadas por triángulos, requisitos que cumplen los cinco poliedros regulares, sólidos tridimensionales cuyas caras están compuestas de planos equiláteros. Estos son el tetraedro, -4 caras triangulares- el cubo, -seis caras cuadradas- el icosaedro, -20 caras triangulares- el octaedro, -8 caras triangulares- y el dodecaedro -12 caras pentagonales-.

Los poliedros ofician como corpúsculos tridimensionales mínimos -son la mínima estructura que se puede obtener con tres dimensiones- que componen los elementos, de modo que las diferencias en la composición de los poliedros explican las diferencias entre tierra, fuego, aire y agua.

Los corpúsculos cúbicos forman la tierra, ya que el cubo se compone de triángulos -rectángulos isósceles- distintos a los de los otros poliedros -rectángulos escalenos- y esto explica porque la tierra no puede transformarse en ninguno de los otros tres elementos. Además, la tierra es el más sólido de los cuatro cuerpos, y el cubo es el que tiene la base más sólida, más estable entre los cuatro poliedros; de esta forma quedan el cubo y sus respectivos triángulos isósceles rectángulos identificados como sustrato de la tierra.

Para los tres elementos restantes el criterio es el siguiente: cuanto menor número de bases tiene un poliedro, mayor movilidad posee; por lo que al elemento más móvil -más volátil- le corresponderá el poliedro con menor número de caras. El fuego -considerado como el elemento de mayor volatilidad- queda así identificado con el poliedro de menos caras, el tetraedro (4). Al agua, considerada como elemento menos móvil de los tres, le corresponde el poliedro de mayor número de caras, el icosaedro (20), y en un lugar intermedio se sitúa el aire, identificándose con el octaedro (8 caras).

Queda por último el dodecaedro, a quien Platón no lo identifica con ningún elemento, asignándole una función algo extraña en un pasaje que no es del todo claro: “Quedaba una quinta combinación -el dodecaedro- de la que dios -el demiurgo- se sirvió para trazar el plano del universo.”

Este fragmento se presta a diversas interpretaciones; se puede pensar que el demiurgo tomó el dodecaedro como modelo para dar forma al universo, y como el modelo siempre es superior a aquello que sirve de modelo, el universo no es un dodecaedro exacto, sino más bien una esfera -que siempre se puede inscribir no sólo dentro del dodecaedro, sino de cualquiera de los poliedros-. Pero también es plausible interpretar que el dodecaedro no es el modelo sino el quinto elemento del que están hechas las esferas y cuerpos del mundo celeste.


Los poliedros regulares según Platón

Como se señaló, los cinco poliedros tienen en común el hecho de que pueden ser triangulados, es decir que seccionando sus caras pueden obtenerse triángulos. Las caras del tetraedro, (4) el octaedro, (8) y el icosaedro (20) están compuestas de triángulos equiláteros, por lo que el procedimiento se lleva acabo seccionando cada equilátero a la mitad, de lo que resultan dos triángulos rectángulos escalenos; luego se traza una línea desde el vértice formado por la hipotenusa con el cateto menor de uno de los escalenos hasta la hipotenusa del otro, -y viceversa- obteniendo así 6 rectángulos escalenos -ver cuadro-.

En el caso del cubo (6 caras) con una división basta, ya que trazando las dos diagonales de los cuadrados que conforman cada cara se obtienen los triángulos rectángulos isósceles; finalmente el dodecaedro, poliedro de 12 caras pentagonales, no triangulares, presenta algunas singularidades en su triangulación que merecen trato aparte.

En el caso de tetraedro, dividiendo de esta manera los triángulos que conforman cada una de sus cuatro caras se obtienen seis triángulos rectángulos escalenos, por lo que la estructura básica del tetraedro, y por tanto del fuego, estaría compuesta por 24 triángulos rectángulos escalenos (seis por cara).

De la misma manera el octaedro, estructura básica del aire, está compuesto de ocho caras en forma de triángulos equiláteros, de cada una de las cuales se obtienen igualmente seis rectángulos escalenos, por lo que el octaedro está compuesto de 48 rectángulos escalenos.

Igualmente el icosaedro -20 caras conformadas por triángulos equiláteros- sustrato del agua, se conforma de seis triángulos rectángulos escalenos por cara, lo que a razón de 20 caras da un total de 120 rectángulos escalenos.

En cuanto al cubo, sustrato de la tierra, que se compone de cuatro triángulos isósceles -no escalenos como en los tres poliedros anteriores- por cada una de las seis caras, lo que da un total de 24 triángulos rectángulos isósceles.

Desde el momento en que el agua, el aire y el fuego están compuestos por el mismo tipo de triángulo -rectángulo escaleno- es posible que cada uno de estos elementos se convierta en el otro. El pasaje, por ej. del fuego al aire se produce por una redistribución de los triángulos que en el fuego conformaban un tetraedro, los cuales al convertirse en aire se reagrupan formando un octaedro. Reformulando en lenguaje matemático, Platón establece que de un cuerpo de agua compuesto por 120 triángulos se pueden obtener dos cuerpos de fuego de 48 triángulos cada uno (suman 96) y uno de fuego con 24 triángulos (24 + 96 =120). Análogamente, de la reunión de 5 cuerpos de fuego (24 x 5 = 120) se puede obtener uno de agua, y del mismo modo con todas las combinaciones posibles.

Esto vale para aire, fuego, agua y sus respectivos poliedros, pero no para el cubo, ya que los triángulos rectángulos isósceles que lo componen no pueden formar ninguno de los otros tres poliedros, por lo que es imposible que la tierra pueda transformarse en alguno de los otros tres elementos.

La triangulación de los poliedros

Resta por último el dodecaedro, al cual como se señaló, Platón le asignaba de un modo no del todo claro la función de modelo sobre el cual el demiurgo dio forma esférica al universo o materia de la cual están hechos los cuerpos celestes.

Un dodecaedro se compone de 12 caras pentagonales, siendo posible triangular cada una de ellas en 10 triángulos rectángulos escalenos. Si bien Platón -a diferencia de los otros poliedros- no indica el procedimiento de triangulación, tomando la cara pentagonal del dodecaedro y trazando una línea desde cada vértice hasta el centro, obtenemos cinco triángulos que son isósceles pero no rectángulos. Luego dividimos cada isósceles desde el punto medio de la base hasta el vértice que no pertenece a la base -centro del pentágono- obteniendo así dos triángulos rectángulos escalenos por cada isósceles, sumando 10 en total.

Siguiendo un procedimiento análogo al del icosaedro -cuya cara en forma de triángulo equilátero era primero seccionada en dos obteniendo dos rectángulos escalenos, los cuáles a su vez pueden dividirse en tres rectángulos escalenos cada uno- dividimos cada rectángulo escaleno en tres nuevos rectángulos escalenos, obteniendo así un total de 30 triángulos por cara. La triangulación del dodecaedro debe contener estos 30 triángulos por cara y no 10, ya que los 10 rectángulos escalenos resultan de la primera división -a la mitad- del triángulo equilátero inicial, -que en los otros tres poliedros es una cara, mientras que en el dodecaedro es 1/5 de la cara- y el número de triángulo rectángulos escalenos es establecido en los otros tres poliedros a partir de la segunda división del equilátero inicial, no de la primera.

A razón de 30 triángulos por cara en un total de 12 caras, el dodecaedro estaría entonces compuesto de 360 triángulos.

En el caso de los triángulos isósceles rectángulos que conforman el cubo, podemos establecer que cada uno de sus catetos = 1. No se trata de un “centímetro” o una medida geométrica cualquiera; sino de una abstracción matemática efectuada por Platón partiendo del hecho de que estos triángulos constituyen la estructura última de la materia, y que por tanto sus lados deben corresponder a una unidad indivisible, irreductible a otra cosa. Si los catetos de los isósceles que conforman el cubo valen 1, entonces, de acuerdo al teorema de Pitágoras, la hipotenusa valdrá:

El número resultante es la raíz cuadrada de 2 = 1, 414213562373.... Se trata de un número irracional, que daría medida a la hipotenusa de los isósceles constitutivos del cubo. Los otros cuatro poliedros están constituidos por triángulos escalenos, de los cuales podemos igualmente tomar 1 como medida del cateto menor y 2 como medida del mayor, de aquí que la hipotenusa del escaleno rectángulo que componen los restantes cuatro poliedros se obtenga mediante:

El número resultante es la raíz cuadrada de 5 = 2, 236067977... En ambos casos aparecen números irracionales incluídos en los triángulos que conforman el sustrato último de la realidad. Cabe recordar que el descubrimiento de los irracionales había provocado una aguda crisis en la escuela pitagórica, afectando seriamente la concepción del número como ente perfecto y mensurable por definición, y marcando por tanto una fuerte deficiencia en el intento pitagórico de construir una cosmología -además de una ética y una física- de base matemática. Podemos interpretar entonces la teoría de los poliedros de Platón como un intento de esclarecer el lugar ocupado en el cosmos por esas nuevas realidades, los números irracionales, confinándolos al mundo sensible. De este modo la imposibilidad de extraer conocimientos verdaderos a través de la experiencia y la simultánea superioridad del mundo de las Ideas queda evidenciada mediante la demostración matemática de la irracionalidad del mundo sensible.

Con 26 siglos de conocimiento científico generado desde la época de Platón hasta la fecha, es natural que hoy en día la teoría de los poliedros nos parezca una metáfora arbitraria, un juego antojadizo de un filósofo que interpola asistemáticamente geometría, física y aritmética. Sin embargo, en pleno siglo XX Werner Heisenberg -uno de los creadores de la Física Cuántica-, supo señalar en la doctrina platónica el antecedente de uno de los más importantes descubrimientos de la ciencia moderna: la imposibilidad de expresar la constitución última de la materia en un lenguaje que no sea el matemático: “Creo que en este punto la física moderna se ha decidido definitivamente por Platón. Porque realmente las unidades mínimas de las materia no son objetos en el sentido ordinario de la palabra; son formas, estructuras o ideas -en el sentido de Platón- de las que sólo puede hablarse sin equívocos con el lenguaje matemático” .


Bibliografía

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