Kurt Gödel. El genio de la racionalidad



Según quienes mejor han estudiado su vida y obra, su ansia de racionalidad quizá procediese del trasfondo recurrente de una inestabilidad mental, de una hipocondría. Nos referimos a Kurt Gödel, genio de las matemáticas y de la lógica, de cuyos teoremas de incompletitud derivan consecuencias decisivas. Sus descubrimientos minaron los fundamentos sobre los que se construyeron las matemáticas hasta el siglo XX y han engendrado un vivaz debate filosófico sobre la naturaleza de la verdad. Sus innovaciones técnicas han hecho progresar a las ciencias de la computación.

Nació en Brno, Moravia, el 28 de abril de 1906, hijo de expatriados alemanes sin demasiada instrucción. Kurt fue un estudiante brillantísimo, inquisitivo, tanto que fue apodado 'der Herr Warum' "el señor Porqué", sensible, introvertido y bastante enclenque. Unas fiebres reumáticas posiblemente alentaron su enfermiza preocupación por la salud y la dieta. Estudió en la universidad de Viena en una época de vacas flacas y esplendor cultural, con la intención de hacer física, pero impresionado por las lecciones de Philipp Furtwängler y Hans Hahn se orientó hacia las matemáticas. A los dos años fue invitado a un seminario con el filósofo Moritz Schlick, a un grupo cuyo nombre pronto sería famoso: el Círculo de Viena, que se inspiraba en los escritos de Ernst Mach, un campeón del racionalismo antimetafísico. Allí entró en contacto también con el filósofo Rudolf Carnap y con el matemático Karl Menger, quienes le ayudarían a familiarizarse con la lógica matemática y la filosofía. Por entonces el Círculo se había enfrascado en los escritos de Wittgenstein, cuya obsesión por el lenguaje que habla del lenguaje (metalenguaje) pudo inducir a Gödel a sondear cuestiones similares en matemáticas.

Algunos miembros del Círculo de Viena investigaban por entonces los fenómenos parapsicológicos por los que Gödel siempre mostró un gran interés. Años después, Gödel le confesaría a un amigo íntimo que en el futuro sería considerado extraño que los científicos del siglo XX hubieran descubierto las partículas físicas elementales y no se les hubiera ocurrido considerar la posibilidad de factores psíquicos elementales. Gödel nunca compartió el positivismo recalcitrante del Círculo de Viena. Por el contrario, siempre fue un platónico convencido de que, además del mundo de los objetos, existe un mundo de conceptos al que los humanos tienen acceso por intuición. Gödel pensaba que el valor de verdad de un enunciado es independiente de que lo conozcamos. Además, sabía que dicha filosofía servía precisamente como excepcional auxiliar en el campo de las matemáticas. Georg Kreisel, un importante filósofo de las matemáticas, ha señalado como característica de la actitud filosófica gödeliana la búsqueda (llevada, sin duda, con gran éxito) de nuevas perspectivas y nuevos resultados mediante análisis de conceptos aparentemente imprecisos, lo cual configura una actitud fundamentalmente "platonista".

A partir de 1928, raras veces participó en las reuniones del Círculo de Viena. Súbitamente, Gödel adquirió estatura internacional en lógica matemática con su tesis doctoral, "La completitud de los axiomas del cálculo funcional de primer orden" (1929) y con su memoria "Sobre las proposiciones formalmente indecibles de Principia Mathematica y sistemas afines" (1932). En su tesis resolvía un problema pendiente planteado por Hilbert y Ackermann: si las reglas para operar con conectivas lógicas y cuantificadores permitirían, adjuntados a los axiomas de una teoría matemática, la deducción de todas y sólo todas las proposiciones verdaderas en cada sistema que cumpliera con los axiomas, ¿sería posible demostrar todo cuanto fuera verdadero para todas las interpretaciones válidas de los símbolos? En un artículo de 1931, Gödel demostró que ha de existir algún enunciado concerniente a los números naturales que es verdadero, pero no puede ser demostrado. O sea, que existen objetos que obedecen a los axiomas de la teoría de números, pero que, en otros aspectos, dejan de comportarse como números ("teorema de incompletitud"). Si los axiomas no se contradicen entre sí, entonces, ese mismo hecho, codificado en enunciado numérico será "formalmente indecidible" –esto es, ni demostrable ni refutable- a partir de dichos axiomas. Cualquier demostración de consistencia habrá de apelar a principios más fuertes que los propios axiomas.

El teorema afirmaba que ningún sistema de leyes (axiomas o reglas) puede tener potencia suficiente para demostrar todos los enunciados verdaderos de la aritmética, sin ser al mismo tiempo tan fuerte que demuestre también enunciados falsos. El resultado frustró a Hilbert, quien tenía confianza en la posibilidad de fijar los fundamentos de las matemáticas mediante un proceso "autoconstructivo", en el que la consistencia pudiera deducirse de una teoría lógica sencilla y evidente. Gödel no creyó que sus conclusiones demostrasen la arbitrariedad del método axiomático- deductivo, sino sólo que la deducción de teoremas no puede mecanizarse del todo, justificando así el papel de la intuición en la investigación formal.

La generalización de sus ideas han permitido la deducción de diversas consecuencias relativas a los límites de los procesos informáticos y computacionales. Una de ellas es la demostración de que ningún programa que no altere el sistema operativo de un ordenador será capaz de detectar todos los programas que sí lo hagan (virus). La consecuencia parece ampliable incluso a campos tan distantes como el uso policial de la violencia o la filosofía de las matemáticas y la lógica. En este último campo, el teorema de Gödel debilita el proyecto de una reducción logicista de la matemática. Sus obsesiones y manías no interrumpieron del todo su trabajo gracias al afecto que le profesó Adele Porkert, una bailarina, seis años mayor, a quien conoció en un local nocturno de Viena durante sus años de estudiante. Tras un largo noviazgo –mal visto por su familia- se casaron en septiembre de 1938. En 1939 seguía sumido en su trabajo, indiferente a los importantes acontecimientos políticos del momento, mientras el mundo a su alrededor se hundía, sin empleo y a punto de ser reclutado para las fuerzas armadas nazis, Gödel solicitó el apoyo del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, obtuvo los visados de salida para sí y para su mujer y en enero de 1940 ambos hicieron un complicado viaje a San Francisco, a través del tansiberiano y desde Yokohama. Gödel ya no volvería a salir de EEUU. Cuando en 1946 obtuvo la ciudadanía estadounidense, el juez que le tomó juramento cometió la imprudencia de pedirle su opinión sobre la Constitución de EEUU. Gödel dio una disertación en toda regla sobre sus contradicciones. Por fin, en 1953, fue nombrado catedrático del claustro de Princeton y elegido miembro de la Academia Nacional de Ciencias.

Durante estos años daba un paseo diario con otro ilustre refugiado y colega, Albert Einstein. Por entonces, Gödel dejó su trabajo sobre la teoría de conjuntos y se orientó hacia la filosofía y la teoría de la relatividad. En 1949 demostró que eran compatibles con las ecuaciones de Einstein universos donde se pudiera viajar retrógradamente en el tiempo. Su último artículo apareció en 1958. Después, se ensimismó del todo. Apareció en público por última vez en 1972, al recibir un doctorado honorífico por la universidad Rockefeller. En su vejez cuidó con abnegación ejemplar a su esposa, a quien un ataque cardíaco dejó inválida. Temeroso de ser envenado, dejó de comer y se extinguió por desnutrición el 14 de enero de 1978. Su obra es escasa, pero la influencia y repercusión de sus trabajos ha sido y será formidable, porque afectan a todas las ramas de la lógica moderna. Hace apenas unos años que se han traducido algunos de sus inéditos, desde la anticuada taquigrafía alemana que utilizaba, y han sido publicados póstumamente en el tercer volumen de sus Collected Works. Sus contenidos, entre los que figura una formalización del argumento ontológico de la existencia de Dios, han empezado también a llamar la atención.

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José Biedma
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