GEOMETRÍAS NO EUCLÍDEAS.
INTRODUCCIÓN

La Geometría es a la vez una ciencia deductiva y una ciencia que se ocupa del espacio que nos rodea.

Sus resultados se clasifican en axiomas y en teoremas. Los axiomas se consideran evidentes y durante mucho tiempo se consideraron susceptibles de establecer empíricamente. Los teoremas son verdades no tan evidentes que pueden deducirse lógicamente de los axiomas.

Los Elementos de Euclides son un compendio de axiomas y teoremas de la Geometría llamada Euclídea.

El axioma V puede formularse como la afirmación de que por un punto exterior a una recta puede trazarse una única paralela a esa recta. Se consideró cierto y evidente durante mucho tiempo. Pero hay una dificultad para establecer empíricamente esta afirmación que radica en la forma de definir las rectas paralelas. Se acostumbra a definir rectas paralelas a las rectas que no se encuentran por mucho que se prolonguen. Pero dadas dos rectas, cualquier prolongación que hagamos de ellas es una prolongación finita (por nuestra naturaleza finita) y susceptible de ampliación, de forma que si al prolongarlas obtenemos que se cortan, podemos decir que son secantes, pero si no se cortan no podemos saber lo que puede ocurrir cuando las prolonguemos más. Nunca podemos concluir que son paralelas porque no podemos observar lo que está infinitamente lejos. Aquí está, según mi punto de vista, la dificultad de establecer empíricamente este axioma. Como el V axioma es equivalente a la afirmación de que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos rectos, Gauss hizo medidas de los ángulos de triángulos con lados enormes, pero siempre queda la duda sobre si la verdadera suma difiere de dos rectos en una cantidad no apreciable por la precisión de los instrumentos de medida.

Vista esta dificultad, nos podemos plantear si la afirmación correspondiente al V axioma es deducible lógicamente de los cuatro axiomas anteriores, es decir, si es un teorema. Muchos matemáticos, a través de los siglos, han trabajado en este sentido sin tener un resultado satisfactorio. En el siglo XIX, Lobachevski tuvo la idea de suponerlo falso y explorar si había alguna contradicción entre las consecuencias de los cuatro primeros axiomas y la negación del quinto, en cuyo caso, se habría demostrado que el último era un teorema. Pero no obtuvo ninguna contradicción, dejando el camino abierto a la posibilidad de su falsedad.

Más tarde Poincaré ideó un modelo de plano cuyas rectas son distintas a las habituales, pero en el que tiene sentido hablar de los cinco axiomas y donde se puede comprobar que se verifican los cuatro primeros pero que no se verifica el quinto. La existencia de este modelo es una prueba de la independencia lógica de los axiomas. Lo cual no implica que el espacio que nos rodea no sea euclídeo, sino solamente que desde el punto de vista lógico, tiene igual coherencia la geometría euclídea que la no euclídea.

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