GEOMETRÍAS NO EUCLÍDEAS.
2. Axiomas y definiciones.

Los cinco primeros axiomas de Euclides son:

  • Axioma I: Dos puntos determinan una sóla recta.
  • Axioma II: Toda recta puede prolongarse indefinidamente.
  • Axioma III: Con cualquier centro y cualquier radio puede trazarse una circunferencia.
  • Axioma IV: Todos los ángulos rectos son iguales.
  • Axioma V: Por un punto exterior a una recta existe una sola paralela a la recta dada.

Subyacentes a estos axiomas están las definiciones de recta, ángulo recto, igualdad de figuras y paralelismo.

Se llama recta a la línea que determina el camino más corto entre dos cualesquiera de sus puntos. (Esta definición depende de la forma que tengamos de medir.)

Se dice que dos figuras son iguales cuando se pueden superponer por un movimiento rígido. Estos movimientos en el plano usual euclídeo son las traslaciones, los giros y las simetrías respecto a una recta. Cambiando la forma de medir, cambia la naturaleza de las rectas y también la de los movimientos pero persiste el concepto de igualdad entre figuras como correspondencia entre figuras que son superponibles por un movimiento.

Cuando dos rectas se cortan determinan cuatro regiones en el plano que se llaman ángulos. Un ángulo se llama recto cuando es igual a su adyacente, (uno de los que están a su lado entre los determinados por las mismas rectas).

 


Dada una recta r y un punto P exterior a la recta, hay muchas rectas que pasan por P y cortan a r. Se llaman secantes a r pasando por P. La posición limite de las rectas secantes a una dada cuando el punto de intersección de las secantes y la recta dada se aleja infinitamente es una recta paralela a la dada, ya que no la corta por mucho que sea prolongada. La intersección de s y r puede alejarse hacia la derecha o hacia la izquierda y aunque nuestra vista nos parece decir que la posición límite de la secante es la misma en ambos casos, veremos que hay un modelo de plano (con rectas, ángulos rectos y movimientos) en el que las dos posiciones límites son distintas y por eso hay dos rectas paralelas a una dada pasando por un punto exterior a ella.

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