Estructura de los Elementos

El sistema axiomático deductivo diseñado por Euclides especifica cuatro tipos de proposiciones matemáticas: definiciones, axiomas, postulados y teoremas. Esta estructura había sido esbozada por Aristóteles en su obra Analíticos posteriores, pero siguiendo a Rey cabe pensar que la influencia de Aristóteles en Euclides se restringe a lo metodológico, mientras que la influencia conceptual respecto a la naturaleza misma del conocimiento matemático se sitúa en Platón.

Los Elementos constan de 35 definiciones, 3 postulados y 12 axiomas. La crisis de la matemática ocurrida a partir de la segunda mitad del siglo XIX ha llevado a la redefinición de estos términos, de tal modo que en el lenguaje actual diríamos que constan de 23 definiciones, 5 postulados y 10 axiomas. Los axiomas X (sobre los ángulos rectos) y XI (sobre las paralelas) han sido colocados junto a los tres postulados iniciales, totalizando así 5 postulados .

La función de las definiciones consiste en distinguir y caracterizar el tipo de entidades que serán objeto de una determinada ciencia; en este caso de la geometría. Si ésta es el estudio de entidades tales como el punto, la línea y la superficie, en primera instancia es necesario establecer que:

I. Punto es aquello que ya no tiene partes.
II. Línea es longitud sin latitud.
III. Extremos de línea son puntos.
IV. Línea recta es aquella que descansa según igualdad sobre sus puntos.
V. Superficie es lo que solamente tiene longitud y latitud.

Las definiciones son anteriores tanto a los axiomas como a los postulados, ya que unos y otros se construyen presuponiendo los conceptos expuestos en ellas. Su valor de verdad es asumido sin demostración, ya que lo único que hacen es denotar objetos y designar características que son inmediatamente captadas por la intuición, como ser la indivisibilidad del punto o la unidimensionalidad de la línea. Sin embargo, sólo son anteriores a los axiomas desde el punto de vista metodológico, y no en función de su importancia conceptual. Desde el momento en que solamente denotan y designan entidades, y no establecen relaciones de entidades como los axiomas, las definiciones no pueden ser consideradas como producciones de conocimiento en el sentido estricto de la palabra. Señalan cuáles son los objetos de la geometría, pero no establecen qué tipos de relaciones pueden darse entre ellos, al modo en que si lo hacen axiomas y postulados. Las definiciones son la base del sistema de Euclides, sólo desde el punto de vista metodológico, así como los axiomas lo son desde el punto de vista conceptual.

La importancia de las definiciones estriba en el hecho de que clarifican toda una serie de conceptos tales como punto, línea, superficie, etc. cuyo uso, frecuente en la matemática griega, se daba de modo intuitivo, sin sustentarse en una definición matemáticamente aceptable. Si bien Euclides mantiene el respaldo intuitivo para la aceptación de lo que la definición afirma, ordena, limita y sistematiza el número de definiciones posibles, insertándolas en el cuerpo de un sistema organizado y diferenciándolas de otras proposiciones matemáticas.

Los axiomas, son igualmente afirmaciones indemostrables, pero su valor de verdad es incondicionado, en el sentido de que poseen un carácter autoevidente que los hace verdaderos más allá de la experiencia. Este carácter autoevidente responde a que los axiomas representan nociones innatas implantadas en la mente humana, a las cuales se tiene un acceso inmediato por medio de la intuición. De los 12 Axiomas que en principio podríamos tomar como referencia, sólo 3 son propiamente geométricos -X, XI y XII- mientras que los otros 9 aparecen más bien como principios lógicos reguladores de toda producción de conocimiento, de modo que cualquier ciencia -y no sólo la geometría- que viole estos principios caerá inmediatamente en contradicción.

Entre los generales encontramos :

I. Las cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sí.
II. Y si a cosas iguales añadimos cosas iguales, las sumas con iguales.
III. Y si susbstraemos cosas iguales de cosas iguales, las restas son iguales.
IV. Y si a cosas desiguales se añaden cosas iguales, las sumas son desiguales.
V. Y si de cosas desiguales quitamos cosas iguales, las restas son desiguales.
VI. Y los dobles de una misma cosa son iguales entre sí.
VII. Y las mitades de una misma cosa son iguales entre sí.
VIII. Y las cosas que coinciden una con otra son iguales entre sí.
IX. Y el todo es mayor que la parte.

Y entre los propiamente geométricos tenemos:

Todos los ángulos rectos son iguales entre sí. (axioma X, postulado IV en la terminología contemporánea).

Si una recta incidente sobre dos rectas, hace ángulos internos y de la misma parte menores que dos rectos, prolongadas esas dos rectas al infinito coincidirán por la parte en que estén los ángulos menores que dos rectos (axioma XI, postulado V en la terminología contemporánea. Su formulación simplificada establece que por un punto exterior a una recta pasa una sola paralela.)

Dos rectas no circundan región (axioma XII, axioma IX en la terminología contemporánea .).

Los postulados mientras tanto son afirmaciones indemostrables (en el sentido en que es demostrable un teorema) pero cuya verdad no es incondicionada, ya que depende de su relación con el mundo; un postulado es verdadero si al compararlo con la realidad coincide con ésta. Los tres postulados originales de Euclides -siguiendo la hipotética terminología antigua- serían:

Trazar una línea recta desde un punto cualquiera a otro punto cualquiera (postulado I)
Prolongar por continuidad en línea recta una recta delimitada (postulado II)
Para cada centro y radio describir su círculo (postulado III)

La única forma de comparar los postulados con la realidad es a través de la construcción, lo que explica el hecho de que las formulaciones de los postulados sean imperativas, en el sentido de que ordenan o prescriben la realización de un determinado procedimiento geométrico. Sin embargo, la construcción no es el criterio de verdad definitorio de los postulados, ya que esto implicaría equiparar su valor intuitivo al de las definiciones, lo cual no es posible entre otras cosas porque los postulados no definen entes geométricos sino que los relacionan. Por lo que el criterio de verdad de un postulado podría situarse en su funcionalidad respecto de la cadena demostrativa del sistema en el que se inserta: si la aceptación de un postulado permite derivar de él teoremas que puedan ser demostrados sin caer en contradicción, el postulado es aceptable.

Por ejemplo, el teorema Dada una recta delimitada construir sobre ella un triángulo equilátero supone el postulado I acerca de la construcción de una recta. Si este teorema puede ser demostrado, el postulado que lo respalda es aceptable. A su vez, las relaciones establecidas en los postulados se valen de los términos de las definiciones, por lo que también una demostración debe recurrir a éstas. Cabe revisar la demostración de este teorema para ver como en ella se insertan las definiciones I, II, III, IV, XV, XVI, los postulados I y III y el axioma I:

Hipótesis: dada una recta delimitada construir sobre ella un triángulo equilátero.

1.1. La recta delimitada dada sea la AB. (La delimitación de una recta se apoya en el postulado I, sustentado en las defs. I, II, III y IV ).
1.2. Hay que construir sobre la recta AB un triángulo equilátero.

Demostración.

1.3.1. Con centro en A y con el radio AB descríbase un círculo BGD (La construcción de un círculo se apoya en el postulado III, sustentado en la def. XV).
1.3.2. Y de nuevo con centro B y con el radio BA descríbase el círculo AGE (Nuevamente apoyada en el postulado III y la def. XV).
1.3.3 Y desde el punto G, en que se cortan uno a otro tales círculos, trácese hasta los puntos AB las rectas GA y GB. (Nuevamente la delimitación de una recta, apoyada en el postulado I).
1.4.1. Y puesto que el punto A es centro del círculo (Def. XVI) GDB, la recta AG es igual a la AB (Def. XV).
1.4.2. Y de nuevo, puesto que el punto B es centro del círculo (Def. XVI) GAE, la recta BG es igual a la BA (Def. XV).
1.5.1. Pero se demostró también que la GA es igual a la AB.
1.5.2. Por tanto cada una de las rectas GA y GB es igual a la AB.
1.5.3. Más cosas iguales a una y la misma son también iguales entre sí (Axioma I).
1.5.4. Luego la GA será igual a la GB.
1.5.5. Por tanto las tres rectas GA, AB, BG, son iguales entre sí.
1.1.2. Según esto, pues, el triángulo ABG es equilátero y está además construido sobre la recta delimitada dada AB. (Fórmula final)

La construcción resultante es la siguiente:

Como puede verse, a los teoremas de esta clase Euclides les asigna una serie metodológica constituida por la hipótesis, la demostración y la fórmula final, o lo que se quería demostrar. Podemos distinguir al respecto dos tipos de pruebas -que no equivalen a una demostración- la directa y la de reducción al absurdo. Esta última consiste en aceptar la negación de la hipótesis inicial del teorema, y derivar de ella una contradicción, lo cual obliga a aceptar la hipótesis opuesta -la inicial del teorema-. La diferencia entre este tipo de pruebas y una demostración propiamente dicha radica en que “Cuando ese proceso deductivo -el de obtención del teorema- se lleva a cabo apelando exclusivamente a los axiomas y reglas de inferencia, desarrollando la derivación de manera completa, estamos frente a una demostración, mientras que si se invocan teoremas demostrados previamente, se construye lo que se llama prueba.” El teorema revisado muestra un proceso estricto de demostración, ya que sólo se apoya en definiciones, postulados y axiomas, no en otros teoremas ya demostrados.

Sin embargo, comparando el ejemplo precedente con el teorema de Pitágoras, podemos establecer, de acuerdo a Abel Rey, una diferencia entre teoremas propiamente dichos y problemas . Los primeros son relaciones necesarias -en el sentido de que no pueden ser de otra manera- entre entidades matemáticas, que son descubiertas en la investigación de las propiedades esenciales de los entes geométricos. Los segundos son relaciones contingentes -variables- entre estos entes, que son construidas para despejar incógnitas concretas.

En este sentido, la proposición Sobre toda recta dada es posible construir un triángulo equilátero constituye la resolución de un problema, ya que sobre una recta dada se pueden construir también triángulos que no sean equiláteros u otras figuras, la relación es contingente. Sin embargo la proposición Dado un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos equivale al cuadrado de la hipotenusa es un teorema, ya que no existe otra posibilidad de relación entre los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, la relación es necesaria.

Como se señaló, la distinción entre postulados y axiomas tiene su origen en Aristóteles (Analíticos posteriores) y resulta harto problemática a la hora de determinar su función en el sistema de Euclides. Abel Rey señala incluso que la distinción puede no haber sido introducida por Euclides, sino por los comentaristas alejandrinos posteriores influenciados por Aristóteles, por lo que axiomas y postulados sólo se distinguirían por su grado de generalidad.

Pero incluso tomando los axiomas como proposiciones generales de todo pensamiento racional, de por sí extrageométricas, podemos desplazar el axioma de los ángulos rectos y el de las paralelas al status de postulado, y subsiste aún el de las dos rectas -que no encierran espacio- dentro de los axiomas, como proposición propiamente geométrica. No obstante, según van Fraassen, podemos derivar el “axioma” XIII de los postulados I y II, ya que de ambos podemos inferir que dos rectas se cortan en un solo punto, concluyendo así que no circundan región (axioma XII) . De este modo quedarían en la categoría de axiomas sólo las proposiciones extrageométricas.

Sin embargo, los principales problemas que se generaron en torno a la geometría euclidea hasta el siglo XIX no afectaban directamente la distinción entre axioma y postulado, sino más bien los límites de la distinción entre axioma/postulado y teorema. Se supone que los dos indemostrables -axioma y postulado- se diferencian de los teoremas por su carácter evidente y su simplicidad, -siendo los axiomas aún más simples y generales que los postulados- pero el axioma de las paralelas (axioma 11 de la terminología antigua, quinto postulado en la actualidad) nunca resultó para los matemáticos tan simple y autoevidente como las restantes proposiciones incluidas en los Elementos.

El afirmar que las rectas prolongadas al infinito coincidirán por la parte en que los ángulos sean menores que dos rectos atenta contra el carácter intuitivo del axioma, ya que el infinito no es un concepto dado a la intuición de la misma manera en que, -por ej.- lo es la igualdad de los ángulos rectos. Es así que desde la antigüedad se multiplicaron los intentos de demostrarlo, y por consiguiente, establecerlo como teorema.

La imposibilidad de esta demostración es lo que en el siglo XIX terminará dando lugar al surgimiento de las geometrías no-euclideas, desarrolladas en principio por Gauss. Si bien el surgimiento de estas geometrías está estrechamente vinculado a los problemas del 5º axioma, una vez consolidadas provocaron una crisis en la geometría que llevó entre otras cosas a la revisión del concepto mismo de axioma. Esto responde entre otras cosas a que el carácter contraintuitivo de la noción de infinito no afecta sólo al axioma de las paralelas, sino también a otras proposiciones básicas del sistema euclideo. Dice Peter Strawson: “Entre dos puntos cualesquiera de una recta siempre hay otro punto. ¿Cómo podemos, incluso, decidir si esto está de acuerdo con nuestra intuición visual o no? ¿Qué imagen vendría al caso? ¿Nos ayuda el mirar simplemente una recta? Cualquier forma que pudiéramos pensar de confrontarla con nuestra intuición visual, o de confrontar nuestra intuición visual con ella, sugiere más bien que es anti-intuitiva.”

Planteado de esta forma, el problema afecta particularmente a la concepción euclídea del status de verdad de los axiomas. Si estos son autoevidentes, lo son a causa de la intuición, por lo que si no pueden apoyarse en ésta, pierden su carácter de verdad incondicionada. Una vez que los axiomas de Euclides han sido despojados de su apoyatura intuitiva, y que las geometrías no-euclideas han desarrollado modelos axiomático deductivos alternativos -en los que no vale el quinto postulado- el grado de aceptabilidad de un axioma -ya que no su valor de verdad- queda dado no por su correspondencia con la realidad, sino por su coherencia con las otras proposiciones del sistema. Un axioma es consistente si su aceptación permite derivar teoremas carentes de contradicción.

De aquí que las proposiciones iniciales que fundan un sistema geométrico puedan en primer momento ser establecidas sin un criterio explícito que establezca su aceptabilidad, la que sólo quedará determinada por la coherencia de las derivaciones a las que conduce su aceptación. Esto posibilita por un lado la convivencia de distintas geometrías, planteando el problema de las relaciones entre geometría y realidad. En efecto, si distintas geometrías opuestas entre sí pueden convivir con tal que no presenten contradicciones internas, ¿tiene algo que ver la geometría con el mundo exterior? ¿existe alguno de estos sistemas internamente coherentes que se aplique a la realidad mejor que los demás?

Pero no obstante la crisis desencadenada en el s. XIX, desde su formulación y hasta el comienzo de los trabajos de Gauss la geometría de Euclides fue tomada como la representación verdadera de las propiedades del espacio, de modo que esta correspondencia de sus postulados y axiomas con el mundo exterior constituían al sistema euclideo como la única geometría posible. Incluso Kant llegó a establecer que el espacio tal como lo describe la geometría euclidea se corresponde con la forma en que los seres humanos nos representamos el espacio como intuición a priori, es decir como condición formal de posibilidad de nuestras percepciones. Si se le niega a la geometría euclidea esta aplicación a al realidad, la geometría misma es imposible, concluía Kant .

Incluso en una época de severas revisiones del saber heredado de la antigüedad, como lo fue la revolución científica desarrollada en los siglos XVI al XVIII, el modelo euclideo no fue sometido a cuestionamiento. Muy por el contrario, fue compatibilizado e insertado en la naciente concepción moderna de la ciencia: “...en la física clásica, el espacio era considerado como un medio homogéneo que existía objetiva en independientemente de su contenido físico, cuya rígida e intemporal estructura ya estaba contenida en los postulados y teoremas de la geometría de Euclides.“

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