Euclides y la sistematización de la geometría

Pablo Melogno
pmelogno@hotmail.com
Profesor de filosofía
Montevideo, Uruguay, América del Sur

La sistematización de la geometría

En este contexto del apoyo sistematizado del Estado a la investigación científica, Euclides desarrolla su labor de investigación en el Museo de Alejandría, teniendo a su disposición prácticamente todas las obras que en la época se comprendían dentro del saber matemático. Sobre esta base construye los Elementos, obra considerada como el primer tratado sistemático de matemáticas. Euclides recopila y organiza los descubrimientos de los matemáticos griegos anteriores como Arquitas de Tarento , Eudoxio de Cnido , Pitágoras de Samos, Teeteto de Atenas, Teodoro de Cirene, Leodamas de Tasos , Neoclides, León , Amiclas de Heraclea , Menechmo , Dinostrato , Teudios de Magnesia , Hermótimo de Colofón y Filipo de Medma sumando otras formulaciones propias.

Pero lo más importante es que todo este conjunto de conocimientos aparece por primera vez en la historia de la matemática presentado como un sistema formal axiomático deductivo. Por tal entendemos un conjunto de proposiciones ordenadas de tal modo que, partiendo de algunas de ellas, llamadas axiomas -que se aceptan como autoevidentes, no demostrables- se deduce mediante ciertas reglas otra serie de proposiciones, no autoevidentes y sujetas a demostración, denominadas teoremas. La organización en un sistema de este tipo fue a partir de Euclides -y lo sigue siendo hasta hoy- un requisito inevitable para la cientificidad de la matemática.

Hasta la aparición de los Elementos, los conocimientos matemáticos de la Antigua Grecia no sólo se hallaban dispersos y carentes de unidad, sino que permanecían además subordinados a la concepción metafísica de cada matemático. Los descubrimientos matemáticos de los pitagóricos se percibían en estrecha relación con la concepción del número como entidad divina, del mismo modo que los -eventuales- avances matemáticos de Tales se articulaban en la concepción materialista predominante en los Jonios.

Con Euclides se produce la delimitación de la matemática como ciencia independiente de la filosofía, dando comienzo la separación entre la producción de conocimiento matemático y la especulación metafísica explícita. Esta última aclaración responde al hecho de que si bien el sistema euclideo configuró a la matemática como un campo especializado independiente de la metafísica, no dejó de lado -ninguna teoría científica puede hacerlo- algunos de los presupuestos metafísicos básicos de su época.

En principio, asumió la concepción predominante entre los griegos, de acuerdo a la cual la aritmética, entendida como teoría general de los números, era cualitativamente diferente y a la vez superior a la logística, entendida como el conjunto de técnicas de cálculo vinculadas a procedimientos prácticos. Del mismo modo, la geometría era entendida como el saber propiamente científico acerca de las líneas, superficies, volúmenes y sus propiedades, por definición superior a la geodesia, entendida como el conjunto de técnicas de medición vinculadas a procedimientos prácticos .

A su vez, la geometría era considerada superior a la aritmética, según Abel Rey por dos razones: en primer término, el descubrimiento de los números irracionales había separado la aritmética de la geometría, confiriéndole a los cuerpos geométricos un status superior a los números. Las cantidades inconmensurables no son representables a través de un número, o sólo lo son parcialmente, -un número irracional sólo se puede escribir de modo aproximado- mientras que una recta inconmensurable -por ej. la hipotenusa de un triángulo cuyos catetos valen 1- sí se puede representar. En suma, existe un fenómeno matemático dado, la existencia de magnitudes inconmensurables, que sólo puede ser representado geométrica y no aritméticamente, por lo que la geometría puede captar este orden de fenómenos mejor que la aritmética; de ahí su superioridad.

En segundo lugar, el número -aún en su consideración aritmética, diferente a la logística- continúa vinculado a procedimientos de cálculo de carácter particular, relativos a casos concretos, -o resoluciones de problemas- por lo que las aserciones de la aritmética sólo pueden obtener el carácter universal e incondicionalmente verdadero del conocimiento matemático una vez que han sido expresadas de forma geométrica.

Metodológicamente, esta distinción se traduce en la oposición entre demostración y cálculo; los números como tales son insusceptibles de un tratamiento demostrativo como el que permiten las figuras geométricas, prestándose sólo a procedimientos de cálculo, que ya respondan a necesidades prácticas -logística- o tan sólo a problemas teóricos -aritmética- no alcanzan el grado de consistencia -evidencia y universalidad- obtenido mediante la demostración geométrica.

Este menosprecio de lo práctico frente a lo teórico marca un rasgo distintivo de la cultura griega, que en el contexto de Alejandría se vio particularmente apuntalado por la creciente separación de clases, en el marco de la cual las diferencias entre el hombre culto-teórico y el hombre práctico-ignorante se presentaban como insalvables. Por otra parte, el status de la matemática como ciencia pura e independiente de los intereses prácticos servirá como base a una concepción de la naturaleza del conocimiento matemático que sólo comenzará a ser revisada en el S XV por Leonardo da Vinci.

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