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Conceptos matemáticos



En gráficas que representan funciones reiteradas (es decir, la función se aplica otra vez al resultado) a menudo se observan resultados imprevisibles que presentan una increíble sensibilidad a los parámetros iniciales que se utilizan. Para el estudio del comportamiento caótico de esas funciones no lineales a menudo se utilizan unos diagramas de bifurcación que representan el cambio del resultado según el cambio del parámetro inicial.


En este diagrama de bifurcación se observa cómo a partir de la cuarta bifurcación el comportamiento es caótico. Sin embargo se observan dos franjas blancas donde por un momento parece haber un comportamiento diferente. Diagramas muy parecidos se han obtenido al estudiar el crecimiento en poblaciones donde la tasa de natalidad es mayor que la de mortalidad.

A menudo el comportamiento de una función no lineal, al ser representado en una gráfica del así llamado espacio-fase, presenta un atractor extraño, punto al cual la función se acerca una y otra vez, a pesar de ser su camino imprevisible. Por ejemplo, la gráfica del espacio-fase de un péndulo simple es una elipse.

Un atractor extraño muy famoso es el descubierto por Lorenz (la gráfica tiene 3D)



Fractales



Otro objeto matemático que tiene gran importancia en la teoría del caos son los famoso fractales. Con la invención (o descubrimiento?) de los números complejos se consiguió evitar el problema de las raíces negativas. Pero con ello se descubrieron (y no "inventaron") los fractales: los objetos matemáticos más complejos, como se suele decir. Se trata de reiterar una función f: z --> z2 + c en un plano donde un eje representa los números reales y el otro los complejos. Lo que se obtiene es una figura (que depende del parámetro c) de infinita complejidad, pues por muchas ampliaciones que se hagan siempre siguen surgiendo detalles nuevos. Es muy interesante observar que, dentro del comportamiento caótico de dichos detalles, siempre se encuentra una autosemejanza a diferentes escalas: detalles dentro de una figura que se asemejan a la figura que las contiene, pero no son iguales; tienen una infinidad de matices que siempre las diferencian.

Los fractales están siendo estudiados en muchos campos de la ciencia, tecnología y del arte, y están teniendo aplicaciones importantes.



Para representar fractales se utiliza un software muy sencillo y fácilmente manejable: http://spanky.triumf.ca/www/fractint/fractint.html (es gratuito).

Escalas y dimensiones fractales



Escalas. Es propio de los fractales que se encuentren autosemejanzas a diferentes escalas. Esta propiedad también se encuentra en el mundo natural. Por ejemplo, en la microescala de nuestra existencia, cada uno de nosotros es una única representación del mundo que nos ha creado. Quizás por eso en las primeras semanas después de la concepción, un feto pase a través de formas que recuerdan al pescado, a los anfibios y a otros mamíferos, atravesando una microhistoria del caos de la evolución hasta que encuentra su propia forma.

Dimensiones. Si cogemos una línea (una dimensión) y la arrugamos, se puede decir que obtenemos un plano, puesto que la línea ya no tiene una sola dimensión, aunque tampoco tiene dos: está a medias. De igual forma, si cogemos un papel y hacemos una bola, tenemos algo que está a medias entre dos y tres dimensiones. Precisamente este es el caso de los fractales. Veamos un ejemplo:


La costa británica, como toda forma natural es un fractal (en este caso de dimensión fractal 1,26). Suponiendo que se encontrara en el plano, hagamos el experimento de medir la longitud de su costa. Hacemos una foto desde un satélite y medimos la periferia. Obtenemos determinado número de kilómetros, pero si hacemos la foto desde un avión, veremos que aparecen más detalles de la costa y, al volver a medir, obtenemos una longitud mayor. Si seguimos ampliando y midiendo cada vez mayor número de detalles, la longitud seguirá aumentando hasta que, suponiendo que pudiéramos llegar a medir con infinito número de detalles, la longitud de la costa resultaría ser muchísimo más larga que la que fue medida con pocos detalles.. ¿Por qué? Porque la línea de la costa no se puede medir como algo unidimensional, pero tampoco llega a ser bidimensional. Está en medio.Una cuestión interesante sería si realmente existen las dimensiones o es nuestra forma de pensar la que las ha inventado. Está claro que el mundo también podría ser medido con otros ejes de coordenadas diferentes a los que solemos utilizar. Podríamos clasificar las cosas dentro de dimensiones curvas o espirales. Sólo que tendríamos que modificar nuestras ecuaciones geométricas y temporales. Tal vez estemos clasificando todas las formas que nos vienen a la cabeza dentro de un sistema de dimensiones lineales, porque esa abstracción llamada línea fue lo primero que nos vino a la cabeza.

Una línea es una especie de simplificación excesiva : al imaginar un objeto de exáctamente una dimensión estamos haciendo una simplificación de las dimensiones (ya que nada tiene exáctamente una dimensión), por otro lado al imaginar una línea perfectamente recta estamos haciendo una simplificación de la realidad, donde no existen líneas simples. ¿Cómo imaginaríamos la realidad si la forma que utilizamos como sistema de referencia hubiera sido diferente de lo que hoy llamamos línea recta?

Boyan Ivanov Bonev
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